Théorème de Gauss et symétrie cylindrique. Ainsi, une surface fermée de courbure négative ne peut être plongée isométriquement dans E3 ; cependant, comme Adriano Garsia (en) l'a montré en utilisant l'équation de Beltrami pour les applications quasi-conformes, ce plongement est toujours possible pour une métrique conformément équivalente à la métrique initiale[16]. Comme l'a observé Hadamard, la surface est alors convexe ; ce critère de convexité peut être vu comme une généralisation à deux dimensions du critère de convexité des courbes planes utilisant la dérivée seconde. t {\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}} Bien qu'on connaisse des approches classiques de ce résultat(Milnor 1963), George Birkhoff en a trouvé une démonstration qui s'applique plus généralement à n'importe quelle variété riemannienne de courbure négative ; elle s'appuie sur sa méthode de raccourcissement, publiée en 1917, qui devait lui valoir le prestigieux prix Bôcher et avoir une profonde influence sur le développement par Marston Morse de la théorie de Morse en dimension infinie(Milnor 1963), ainsi que sur la théorie des systèmes dynamiques. Example: North 47.018711° | East 12.34256° Input: The input of the latitude is a decimal number between -89.999999 and 89.999999. Si la courbure de Gauss d'une surface M est partout positive, sa caractéristique d'Euler est positive, et donc M est homéomorphe (et même difféomorphe) à la sphère S2. An Album of Map Projections. La courbure géodésique en un point est un invariant intrinsèque, ne dépendant que de la métrique au voisinage du point. Cependant, en raison de leurs applications à l'analyse complexe, les modèles de Poincaré sont les plus fréquemment utilisés ; ils sont interchangeables, en raison des transformations de Möbius entre le disque et le demi-plan. Click here to display the time zone to the coordinates. Snyder, J. P. (1987). Dans le cas d'une surface plongée dans R3, ce relèvement, appelé la dérivée covariante, se décrit simplement à l'aide de la projection orthogonale. H . C'est une intégrale introduite en référence à l', Sur un petit cercle autour de chaque zéro isolé du champ, celui-ci définit une application sur le cercle unité, le « nombre de tours » (l', Ce résultat se généralise très difficilement aux variétés de dimension supérieure ; en dimension 3, on ne peut faire mieux que la. Cette projection est appropriée pour la cartographie de surfaces à grande échelle ou plus réduites s’étendant majoritairement du nord au sud. Here you can convert the most common coordinates into the other formats. Le disque unité et le demi-plan supérieur The Universal Grids and the Transverse Mercator and Polar Stereographic Map Projections. ) r où la seconde égalité résulte de l'équation de Gauss-Jacobi et la quatrième de la formule de dérivation de Gauss dans les coordonnées orthogonales (r,θ). où χ(M) est la caractéristique d'Euler de la surface ; s'il y a F faces, A arêtes et S sommets, alors 3F = 2A et l'intégrale vaut π(2S – F) = 2π(S – A + F) = 2π.χ(M). La zone 5 du système de Gauss-Krüger possède une valeur d’abscisse fictive de 500 000 ou de 5 500 000 mètres. Cela résulte de l'inégalité Hr ≥ H, conséquence de ce que la dérivée du wronskien de H et r (venant de la théorie de Sturm-Liouville) est non positive[27]. Un champ de vecteurs sur la surface peut être considéré comme une fonction allant de la surface vers R3. Les deux pôles sont projetés sous forme de points. φ Ce résultat est le célèbre théorème de Gauss-Bonnet : il montre que l'intégrale de la courbure de Gauss est un invariant topologique de la surface. D'autres questions globales passent également par ces méthodes[32] ; en voici quelques exemples. Leur groupe fondamental peut être identifié à un sous-groupe compact sans torsion Γ de SU(1,1), tel que. 1 Map Projections: A Working Manual. Washington, DC: United States Government Printing Office. Un cylindre métallique de rayon et de hauteur très grande devant la distance d'observation porte une charge uniformément répartie sur sa surface latérale. θ Ce centrage réduit au maximum la distorsion de toutes les propriétés de la région. Dans ce chapitre, nous allons premi erement rappeler la d e nition du d eterminant d’une matrice. La constante de proportionnalité est la courbure de Gauss (laquelle est constante pour ces surfaces). Gauss généralisa ces résultats à une surface arbitraire en montrant que l'intégrale de la courbure de Gauss sur l'intérieur d'un triangle géodésique est encore égale à cette différence angulaire. Deux points quelconques z et w de D sont reliés par une géodésique unique, portée par la droite ou le cercle passant par z et w qui est orthogonal au cercle unité frontière de D. La distance entre z et w est donnée par. Pour les surfaces, il découle des trois importants résultats suivants[28] : Les concepts de variété riemannienne (introduit par Bernhard Riemann vers 1850) et de connexion (développé par Tullio Levi-Civita, Élie Cartan et Hermann Weyl au début du XXe siècle) devaient permettre une approche plus conceptuelle et uniforme de la notion de courbure que l'approche classique de Gauss[29], non seulement généralisable à des variétés de dimension supérieure, mais permettant de définir de nouveaux invariants géométriques, les classes caractéristiques[30]. {\displaystyle \rightarrow } Levi-Civita(Levi-Civita 1917). Bien que la caractérisation de la courbure ne mette en jeu que la géométrie locale d'une surface, on a vu qu'elle est liée à d'importants aspects globaux tels que le théorème de Gauss-Bonnet ou le théorème d'uniformisation. = Ce résultat de Gauss, le theorema egregium (« théorème remarquable », en latin), montre que la courbure de Gauss d'une surface peut être calculée uniquement à l'aide de la métrique, et est donc un invariant intrinsèque (ne dépendant pas de son plongement dans E³). La connexion peut ainsi être décrite par des relèvements des chemins de la variété vers des chemins du fibré tangent ou du fibré des repères, formalisant la théorie classique du « repère mobile (en) »(Darboux 1887). Dans le cas du plan euclidien, le groupe des symétries est le groupe des déplacements, produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des rotations[18]. ( {\displaystyle {\dot {c}}(t)} La dernière modification de cette page a été faite le 27 octobre 2020 à 15:47. Le graticule est symétrique par rapport à l’équateur et au méridien central. . Grâce à un résultat de (Kobayashi 1956), on montre que la forme de connexion est alors simplement l'image réciproque, par l'application de Gauss, de la forme de connexion sur S2 (Kobayashi et Nomizu 1969). Nous nous limiterons au cas des matrices d’ordre 2 2 et 3 3, bien que les r esultats enonc es sont vrais dans un cadre plus g en eral. z La projection de Gauss-Krüger est une projection cartographique conforme. | Large map | Coordinates to address. Puisque Δ est un invariant intrinsèque, cela donne encore une autre démonstration du caractère intrinsèque de la courbure de Gauss. {\displaystyle \scriptstyle H(r,\theta )=G(r,\theta )^{\frac {1}{2}}} r La projection de Gauss-Krüger est limitée aux données de projet située uniquement à 45° du méridien central en raison de l’instabilité mathématique. vérifie l'équation de Liouville(O'Neill 1997, p. 286). Ce résultat fut généralisé en dimension supérieure par Cartan et, sous cette forme, est connu sous le nom de théorème de Cartan-Hadamard (en). Les géodésiques sont les droites, et la géométrie se ramène aux formules élémentaires de trigonométrie (elles-mêmes liées à l'existence d'un produit scalaire), telles que la formule d'Al Kashi pour un triangle de côtés a, b, c et d'angles α, β, γ : Les surfaces compactes de courbure nulle sont les tores, obtenus en prenant le quotient de R2 par un réseau, c'est-à-dire un sous-groupe de rang 2. Il convient, pour des ellipsoïdes et des sphéroïdes, de ne pas dépasser de 10 à 12° chaque côté du méridien central. Le groupe SO(3) agit transitivement sur S2. L’Équateur et le méridien central sont projetés sous forme de lignes droites. Les surfaces simplement connexes de courbure constante 0, +1 et –1 sont le plan euclidien, la sphère unité E3 et le plan hyperbolique. Lobatchevski en 1830 et, indépendamment, Bolyai (fils d'un des correspondants de Gauss) en 1832, publièrent des approches synthétiques de cette nouvelle géométrie, qui leur valurent de sévères critiques. + Wash. Snyder, J. P. and Voxland, P. M. (1989). La sphère est simplement connexe, alors que le groupe fondamental du plan projectif est Z2. Chacune de ces surfaces possède un groupe d'isométries (préservant l'orientation) qui est un groupe de Lie G, et qui permet d'étudier leur géométrie. Cela correspond également à la forme que prendrait un ruban élastique tendu sur la surface entre ces deux points. ( LA COURBE DE GAUSS : D'OÙ VIENT-ELLE ? « Atlas » est d'ailleurs également le nom donné, en. Sur une sphère, cette limitation ne s'applique pas. L'approche de Cartan et de Weyl, utilisant des 1-formes de connexion sur le fibré des repères de M, est encore une autre voie pour définir les connexions riemanniennes. Le théorème de Gauss seul ne permet pas de déterminer entièrement le champ électrostatique, il faut connaître ces symétries, d’où cette étude préalable. D ( La topologie définie par cette métrique est la topologie usuelle, mais, en tant qu'espace métrique, (D,d) est complet. Defense Mapping Agency Technical Manual 8358.2 (1989). La version du 21 avril 2011 de cet article a été reconnue comme «, Connexion riemannienne et transport parallèle, Géométrie différentielle globale des surfaces, « Une surface est minimale si et seulement si sa courbure moyenne en tout point est nulle. En coordonnées isothermales, lesquelles furent envisagées d'abord par Gauss, la métrique prend la forme particulière, Dans ce cas, l'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par, et Les autres parallèles sont également représentés sous forme de courbes complexes concaves tournées vers le pôle le plus proche. Si de plus la surface est de courbure partout strictement négative, la géodésique joignant deux points quelconques est unique. Un changement de coordonnées passant des coordonnées normales en p à celles en un point voisin q amène à une équation de Sturm-Liouville vérifiée par D est donnée par, agit transitivement sur D par les transformations de Möbius, et le stabilisateur de 0 est le groupe des rotations, Le groupe quotient SU(1,1)/±I est le groupe des isométries de D préservant l'orientation. = J'essaie actuellement de convertir les coordonnées qui viennent dans un fichier csv dans Lon/Lat à Gauss Krüger (Zone 4) en utilisant R. Mon script fonctionne parfaitement bien, sauf que le shapefile qui en résulte avec les points convertis sont un peu hors où ils devraient être (allant de ~ 18 à 40m). Example: North 47.018711° | East 12.34256°, Example: North 47°1.122 | East 12° 20.553', Example: North 47° 1' 7.359' | East 12° 20' 33.216', Example: E (East) = 2783009 | N (North) = 1223568, Example: Zone 32U | East value 691831 | North value 5337164, Example: Zone 32U | Plan square PU | East value 91831 | North value 37164, Example: R (right value) = 4468298 | H (high value) = 5333791, (Click here to calculate the height using the coordinates). En particulier, les isométries préservent la courbure de Gauss(Berger 2003). La projection de Gauss-Krüger est également connue comme la version ellipsoïdale de la projection de Mercator transverse car elle est similaire à la projection de Mercator, à la différence près que dans la projection de Gauss-Krüger, le cylindre touche la sphère ou l’ellipsoïde le long d’un méridien et non le long de l’Équateur. Le groupe d'isométries de la sphère unité de E'3, S2, est le groupe orthogonal O(3), produit semi-direct du groupe des rotations SO(3) avec l'application antipodale envoyant x vers –x[19]. https://earth-info.nga.mil/GandG/update/coordsys/resources/NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS.pdf [accessible le 23 mai 2019]. Dans les coordonnées du plan complexe (u, v), la métrique de la sphère devient(Eisenhart 2004, p. 110). ( Un autre résultat important pouvant être démontré à l'aide de la formule de Gauss-Bonnet est le théorème de Poincaré-Hopf concernant les champs de vecteurs sur M s'annulant en un nombre fini de points : il affirme que la somme des indices[N 6] en ces points est égal à la caractéristique d'Euler de M(Eisenhart 2004). https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf [accessible le 10 octobre 2018]. Le graticule est limité à 45° à partir du méridien central en raison de l’instabilité mathématique. Ainsi, pour montrer qu'une surface donnée est conformément équivalente à une métrique de courbure constante K’, il suffit de résoudre la UTM, UTMRF/MGRS, CH1903, Gauss-Krueger, GK, NAC, W3W and WGS as decimal, decimal minutes or in degrees, minutes and seconds. Pour cartographier des étendues de données plus importantes, il existe deux variantes d’implémentation de projection Mercator transverse dans ArcGIS : la projection transverse complexe de Mercator, disponible dans ArcGIS Pro 1.0 et versions ultérieures, ainsi que dans ArcGIS Desktop 9.0 et versions ultérieures, et la projection transverse de Mercator NGA 2014, disponible dans ArcGIS Pro 1.2 et versions ultérieures, ainsi que dans ArcGIS Desktop 10.4 et versions ultérieures. Les expériences répétées. r Quelle surface de Gauss faut-il choisir pour déterminer en un point grâce au théorème de Gauss (supposé ). En mathématiques, une intégrale de Gauss est l'intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels.Sa valeur est reliée à la constante π par la formule ∫ − ∞ + ∞ − =, où α est un paramètre réel strictement positif. ) La formule de Gauss montre que la courbure en un point peut être calculée comme la limite du quotient de l’excès angulaire α + β + γ − π par l’aire pour des triangles géodésiques de plus en plus petits entourant le point. Les connexions sur une surface peuvent être définies par plusieurs méthodes équivalentes. Un triangle géodésique de la sphère est appelé un triangle sphérique. On peut imaginer des coordonnées de Gauss pour 3, 4 ou plus de dimensions. Jacobien, changement de coordonn ees. G Les géodésiques entre deux points de la sphère sont des arcs de grand cercle. Pour une courbe générale, une description analogue est possible, utilisant la courbure géodésique(Berger 2003) : Cette approche permet de montrer l'existence du transport parallèle, θ(t) pouvant être calculé comme l'intégrale de la courbure géodésique. H Si les points ne sont pas antipodaux, il y a un arc unique minimisant la distance entre eux. Le Gauss-Kruger système de coordonnées a été développé comme un système de coordonnées cartésiennes de Carl Friedrich Gauss et Johann Heinrich Louis Kruger. S’il est inférieur à 1,0, deux lignes approximativement droites (lorsque un ellipsoïde est utilisé) ayant une échelle exacte sont équidistantes de part et d’autre du méridien central. Le disque unité muni de la métrique de Poincaré est la seule surface orientable simplement connexe de courbure constante -1. c Une courbe parcourue à vitesse constante sur une surface est une géodésique si et seulement si sa courbure géodésique s'annule en tout point. ) Le long de géodésiques, cela revient à dire que le transport parallèle d'un vecteur d'un plan tangent est l'unique champ de vecteurs le contenant, formé de vecteurs de norme constante, et faisant un angle constant avec le vecteur tangent à la géodésique. où Δ est le laplacien de la métrique initiale. Si les côtés sont de longueurs a, b, c, les angles correspondants étant notés α, β, γ, alors la « formule d'Al-Kashi hyperbolique » est. Les autres surfaces orientables M de courbure constante -1 admettent D comme revêtement universel. Disponible en ligne : = Les systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger, Universal Transverse Mercator (UTM) et State Plane utilisent tous cette projection cartographique. Les premières formules avec la correction ellipsoïdale ont été développées par Carl F. Gauss en 1822. La sphère unité est la seule variété compacte de courbure constante +1. Chaque zone possède un facteur d’échelle de 1,0 et une abscisse fictive Est de 500 km. Il divise le monde en deux zones de six degrés de largeur. Le stabilisateur du vecteur unité (0,0,1) peut être identifié à SO(2), et donc S2 = SO(3)/SO(2). La matrice jacobienne de ce changement de coordonnées est égale (en q) à Les expériences répétées Les sous-groupes finis de SO(3), correspondant aux sous-groupes finis de O(2) et aux groupes de symétries des solides platoniciens, n'agissent pas librement sur S2 ; les quotients correspondants ne sont donc pas des variétés, mais seulement des orbifolds. = NSRS Geological Survey Professional Paper 1453. Espace Mendès-France Poitiers - 20 mars 2013 - Brigitte Chaput Détaillons : pour une expérience aléatoire, on s'intéresse à la réalisation ou non d'un de ses résultats. Le quotient SO(3)/O(2) peut être identifié au plan projectif réel. Le résultat est une projection conforme sans conservation des directions vraies. y La courbure de Gauss peut être obtenue par des relèvements de lacets de plus en plus petits, ou, de façon équivalente, calculée directement de manière « infinitésimale » grâce aux crochets de Lie des relèvements des champs de vecteurs. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Un triangle hyperbolique est un triangle géodésique pour cette métrique. Gauss montra que, si Δ est un triangle géodésique d'angles α, β et γ aux sommets A, B et C (c'est-à-dire que, par exemple, AB et AC sont des géodésiques dont les vecteurs tangents en A forment un angle de α), alors. Téléchargez des applications et des données pour votre organisation. Disponible en ligne : Elle ne conserve généralement pas les vraies directions, mais les angles et les formes sont conservés à une échelle infinitésimale. La jacobienne de l'application exponentielle ne s’annule jamais pour des surfaces de courbure négative, puisque, Les géodésiques « s'étendent à l'infini », c'est-à-dire que. Chow a démontré que K’ devient positif en un temps fini ; des résultats antérieurs de Hamilton permettent alors de montrer que K’ converge vers +1[26]. L'hypothèse de complétude est nécessaire : dans le plan euclidien privé d'un point, il n'y a pas de géodésique reliant deux points symétriques par rapport à celui-ci. The height data are based on the SRTM values. Sur un tore ou un cylindre, la différence est nulle, tout comme la courbure de Gauss. En particulier, qualitativement, le signe de la courbure est le même que celui de l'excès angulaire pour des triangles assez petits(Eisenhart 2004). Les systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger, Universal Transverse Mercator (UTM) et State Plane utilisent tous cette projection cartographique. > La connexion riemannienne, également appelée la connexion de Levi-Civita(Levi-Civita 1917) se comprend peut-être plus facilement comme relèvement de champs de vecteurs, considérés comme des opérateurs différentiels du premier ordre (agissant sur les fonctions définies sur la variété), vers des opérateurs du fibré tangent ou du fibré des repères. La forme explicite de cette application est, Par cette application, chaque rotation de S2 correspond à une transformation de Möbius du groupe spécial unitaire SU(2), unique au signe près[20]. On peut la définir comme la monodromie de l'équation différentielle définie sur la courbe par la dérivée covariante par rapport au vecteur vitesse de la courbe. Elle est très couramment utilisée. The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS). Identifiant S2 avec l'espace homogène SO(3)/SO(2), cette forme est une composante de la forme de Maurer-Cartan sur SO(3)(Ivey et Landsberg 2003). En fait, d'un point de vue extrinsèque, il s'agit des angles entre les plans des grands cercles. : Dans une région de la surface où K≤0, les triangles géodésiques vérifient les inégalités de la géométrie de comparaison des espaces CAT(0), ou espaces de Hadamard (en), étudiée par Cartan, Alexandrov et Toponogov (en), et envisagée par la suite d'un point de vue différent par Bruhat et Tits ; grâce aux travaux de Gromov, cette caractérisation de la courbure négative en termes de la distance géodésique a eu un profond impact sur la géométrie moderne, et en particulier sur la théorie géométrique des groupes. Le méridien central de la zone 1 se situe à 3° est. Cette relation inattendue entre l'analyse et la topologie devait être suivie de nombreux résultats géométriques du même ordre, culminant avec le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer. Cette approche est particulièrement simple dans le cas d'une surface plongée dans E3. ∂ Sur une surface connexe complète, deux points sont toujours reliés par au moins une géodésique. | Ces surfaces ne peuvent être plongées isométriquement dans E3, mais cela est possible dans E4 ; cela vient de ce qu'un tore s'identifie à un produit de deux cercles de E2 (do Carmo 1976). où (u,v) correspond au vecteur unitaire La version sphérique de la projection a été présentée par Johann H. Lambert en 1772. } Le méridien central est placé au centre de la région d’intérêt. Quatre modèles de la géométrie hyperbolique à deux dimensions furent ainsi construits : Le premier de ces modèles, basé sur un disque, a pour géodésiques de véritables droites euclidiennes (ou, plus précisément, l'intersection de ces droites avec le disque unité ouvert). D'après le théorème d'uniformisation de Poincaré, il en résulte que toute variété riemannienne orientable compacte de dimension 2 est conformément équivalente à une surface de courbure constante 0, +1 ou –1 (ce nombre étant le signe de la caractéristique d'Euler de la variété)[17], d'où l'intérêt de l'étude des trois géométries correspondantes[N 7]. Limitations. H Here you can find the coordinates you last clicked or entered. These values refer to a base area of 90m², so in steep terrain there can be larger deviations of up to 30 metres. On peut coder les générateurs de ce groupe et leurs relations à l'aide d'un polygone géodésique fondamental de D (ou de H), dont les côtés correspondent à des géodésiques fermées de M. Cette construction donne, par exemple, la surface de Bolza, de genre 2, la quartique de Klein, de genre 3, la surface de Macbeath, de genre 7, ou encore le premier triplet de Hurwitz, de genre 14. Systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger, https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf, https://earth-info.nga.mil/GandG/update/coordsys/resources/NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS.pdf. Comme elle dépend continument de la norme L2 de kg, le transport parallèle pour une courbe arbitraire peut aussi être obtenu comme limite de transports parallèles sur des approximations par des courbes géodésiques par morceaux[31]. {\displaystyle H(r,\theta )} 1.1 Rappels : coordonnées sphériques et coordonnées cylindriques Les figures ci-dessous rappellent les définitions des systèmes de coordonnées … } S CH. Ils remarquèrent que le transport parallèle impose que le relèvement d'un chemin sur la surface soit un chemin dans le fibré des repères tel que ses vecteurs tangents appartiennent à un sous-espace bien précis de codimension 1 dans l'espace tangent tridimensionnel du fibré. Le nom Gauss-Krüger se réfère à la forme ellipsoïdale réévaluée par Louis Krüger en 1912. θ le disque unité dans le plan complexe, muni de la métrique de Poincaré, En coordonnées polaires (r, θ), la métrique est donnée par, La longueur d'une courbe γ:[a,b] sont en bijection conforme par les transformations de Möbius (liées à la transformation de Cayley), Par cette correspondance, l'action de SL(2,R) sur H correspond à celle de SU(1,1) sur D. La métrique sur H est donnée par. H Lorsque M est de caractéristique d'Euler négative, K’ = -1, et l'équation devient : Utilisant la continuité de l'application exponentielle sur les espaces de Sobolev, un résultat dû à Neil Trudinger, on montre que cette équation non linéaire possède toujours des solutions[24]. θ Γ est alors un groupe de présentation finie. The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS). Le champ résultant n'est pas tangent à la surface, mais il suffit de le projeter en chaque point sur le plan tangent correspondant. Le relèvement de lacets autour d'un point donne naissance au groupe d'holonomie en ce point. Les distorsions de surface, de distance et d’échelle s’accentuent rapidement à mesure qu’on s’éloigne du méridien central ou des deux lignes de référence comme indiqué ci-dessus. Enfin, dans le cas de la 2-sphère, K’ = 1 et l'équation devient : Cette équation non linéaire n'a pas encore été analysée directement, mais des résultats classiques tels que le théorème de Riemann-Roch permettent de montrer qu'elle admet toujours des solutions. NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS (2014). La notion de transport parallèle d'un vecteur le long d'une courbe fut introduite ensuite par Sur une sphère ou un hyperboloïde, l'aire d'un triangle dont tous les côtés sont des géodésiques est proportionnelle à la différence entre la somme des angles intérieurs et π. Comme Ricci et Levi-Civita s'en rendirent compte, cette procédure ne dépend que de la métrique, et peut s'exprimer localement à l'aide des symboles de Christoffel. z < En fait, le flot de Ricci sur les métriques conformes de S2 est défini pour des fonctions u(x, t) par. Les coordonnées isothermales existent au voisinage de tout point de la surface, mais les seules preuves connues de ce résultat reposent sur des résultats non triviaux de la théorie des équations aux dérivées partielles(do Carmo 1976, p. 227). Certains endroits ajoutent le numéro de zone multiplié par un million à la valeur d’abscisse fictive 500 000. r Un autre champ de vecteurs agit alors comme un opérateur différentiel sur chaque composante. Il est défini par trois points A, B, C, les côtés BC, CA, AB étant des arcs de grands cercles de longueur inférieure à π. Si les longueurs des côtés sont a, b, c et les angles entre les côtés[N 8] α, β, γ, The Universal Grids and the Transverse Mercator and Polar Stereographic Map Projections. , équation découverte par Gauss et généralisée par la suite par Jacobi. L'expérience a montré que cette caractérisation géométrique des propriétés de l'espace- temps qui se déforme selon le mouvement relatif ou le champ de gravitation, était correcte.

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